Si p divise ab, alors p divise a ou b

Propriété

Soit \(p \in \mathcal{P}\) et \(a\) , \(b \in \mathbb{N}^\ast\) .
Si \(p\) divise \(ab\) , alors \(p\) divise \(a\) ou \(p\) divise \(b\) .

Démonstration

Supposons que \(p\) divise \(ab\) . On raisonne par disjonction de cas :

• ou bien \(p\) divise \(a\) , et le résultat est établi ;
• ou bien \(p\) ne divise pas \(a\) , donc \(\mathrm{PGCD}(p;a)=1\) , et donc, d'après le théorème de Gauss, \(p\) divise \(b\) .